ACTIVIDADES EN GEOGEBRA PARA 5º, 6º, 7º Y 8º BÁSICO.

Actividades quinto año:

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ACTIVIDADES EN GEOGEBRA PARA 5º, 6º, 7º Y 8º DE EDUC. BÁSICA.

Actividades para 5º Año:

Actividades para 6º Año:

Actividades para 7º Año:

Actividades para 8º Año:

POLIGONOS REGULARES SEGÚN SUS LADOS

TRASLACIÓN DE FIGURAS

La Bisectriz perpendicular de una cuerda contiene al centro del círculo 

ÁNGULOS Y RECTAS PARALELAS.

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante

Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho ángulos.Esta distribución numérica nos permite carecterizar parejas de ángulos según su posición, haciendo notar que los ángulos 3, 4, 5 y 6 son interiores (o internos) y que los ángulos 1, 2, 7 y 8 son exteriores (o externos) respecto a las rectas

Ángulos internos

Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios (suman 180º)

Ángulos externos

Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios.

Ángulos correspondientes

Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos correspondientes es congruente entre sí.

Ángulos alternos internos

Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos internos es congruente entre sí.

Ángulos alternos externos

Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos externos es congruente entre sí.

El Círculo.

Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior.

Los elementos del círculo son los siguientes:

1) Centro: es un punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

2) Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

3) Diámetro: es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia. Corresponde al doble del radio.

4) Arco: es un segmento curvilíneo de puntos que pertenecen a la circunferencia.

5) Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas con mayor longitud que podemos encontrar son los diámetros.

6) Secante: es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.

7) Tangente: es una recta que toca la circunferencia en un solo punto.

Recta tangente al círculo es perpendicular al radio.

Al realizar la tangente en un círculo, esta es perpendicular al radio formando un ángulo de 90º

Ángulos interiores en un Triángulo

Una de las propiedades que tienen los triángulos está relacionada con sus ángulos interiores. En un triángulo, los ángulos interiores suman 180º. 

Observa la siguiente imagen 

Estimados Alumnos y alumnos:

les adjunto material de la Circunferencia y sus elementos. Además le dejo la página www.geogebra.org en donde podrán fabricar todos los elementos geométricos que puedan necesitar y asi ir comprendiendo como se realizan cada uno de ellos.

Cariños, Profesora Miriam Campos

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: MÉTODO POLYA.

Queridos alumnos y alumnas: les dejo aqui una forma bien práctica para poder resolver cualquier problema matemático. Leánlo, les ayudará muchísimo.

George Pólya: Estrategias para la Solución de Problemas (I)

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George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fué maestro en el Instituto Tecnológico Federalen Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en E.U.A. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942.
En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fué descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan
3. Ejecutar el plan
4. Mirar hacia atrás 


El Método de Cuatro Pasos de Pólya.
Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre ejercicio y problema.
Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta.
Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio.
Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: dividir.
Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos,propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas.
Como apuntamos anteriormente, la más grande contribución de Pólya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resúmen de cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro
Cómo Plantear y Resolver Problemas de este autor (está editado por Trillas).
Paso 1: Entender el Problema.
1.- ¿Entiendes todo lo que dice?
2.- ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
3.- ¿Distingues cuáles son los datos?
4.- ¿Sabes a qué quieres llegar?
5.- ¿Hay suficiente información?
6.- ¿Hay información extraña?
7.- ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes? 

 
Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2.- Usar una variable.
3.- Buscar un Patrón
4.- Hacer una lista.
5.- Resolver un problema similar más simple.
6.- Hacer una figura.
7.- Hacer un diagrama
8.- Usar razonamiento directo.
9.- Usar razonamiento indirecto.
10.- Usar las propiedades de los Números.
11.- Resover un problema equivalente.
12.- Trabajar hacia atrás.
13.- Usar casos
14.- Resolver una ecuación
15.- Buscar una fórmula.
16.- Usar un modelo.
17.- Usar análisis dimensional.
18.- Identificar sub-metas.
19.- Usar coordenadas.
20.- Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan.
1.- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
2.- Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!).
3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
...

Paso 4: Mirar hacia atrás.
1.- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
2.- ¿Adviertes una solución más sencilla?
3.- ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Comunmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue:
Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas:
Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:
1.- Acepta el reto de resolver el problema.
2.- Reescribe el problema en tus propias palabras.
3.- Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
4. -Habla contigo mismo. Házte cuantas preguntas creas necesarias.
5.- Si es apropiado, trata el problema con números simples.
6.- Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
7.- Analiza el problema desde varios ángulos.
8.- Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar
9.- Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.
10.- No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.
11.- La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.
12.- Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.
13.- Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fué el paso clave en tu solución.
14.- Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.
15.- Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.
16.- ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.  

A continuación un video para ver gráficamente la aplicación del método Polya: 

 

CUADRO COMPARATIVO DE POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS.

A continuación les dejo un esquema en el cual puedan apreciar las diferencias entre un POLIEDRO y un CUERPO REDONDO:

ESTRUCTURA DE LOS CUERPOS REDONDOS

El cono, el cilindro y la esfera

Estos tres cuerpos se generan al hacer girar una línea alrededor de un eje. La línea que gira recibe el nombre de generatriz y los puntos que ella describe forman una circunferencia.
El cono
Es el cuerpo geométrico redondo que se obtiene al girar una recta oblicua desde un punto fijo del eje. A ese punto se le llama cúspide. La recta, llamada generatriz, gira a lo largo de una circunferencia, directriz, que se encuentra en otro plano.

Otra forma más sencilla de determinar la formación de un cono es decir que se genera al rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Elementos de un cono recto
- Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo.
- Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto, AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB)
- Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono.
- Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base.
Observa los elementos del cono recto en este esquema:

El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado cúspide.
Cono recto y cono oblicuo
Si la altura coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo.
Red del cono
Al abrir un cono obtenemos su red, es decir, la plantilla dibujada en un mismo plano para poder construirlo.

La cara lateral o manto de un cono corresponde a un sector circular.
Llamamos sector circular a una parte del círculo formado por 2 radios y el arco de circunferencia comprendido entre ellos.

En el manto del cono, los radios son la generatriz, y el arco equivale al perímetro de la circunferencia basal.
El cilindro
Este cuerpo redondo se forma con todas las rectas paralelas que cortan a 2 circunferencias congruentes ubicadas en planos paralelos.

Nuevamente obtendremos, de forma más sencilla, la formación de un cilindro recto. Haremos girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Elementos de un cilindro recto
- Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo
- Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro.
- Altura: corresponde al mismo eje AD, es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto.
- Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro.
Observa los elementos del cilindro en este esquema:

El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes, 1 cara lateral que es curva y 2 aristas basales.
Red del cilindro
Al abrir un cilindro y colocar todas las caras en un mismo plano, obtenemos su red. Así:

Puedes observar que en esta red se nos forma un rectángulo para la cara lateral, cuyos lados son el perímetro de las circunferencias que forman las bases.
La esfera
Es el cuerpo redondo que se genera al rotar un semicírculo alrededor de su diámetro.

Elementos de una esfera
- Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica
- Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O
- Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA
- Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB
Observa los elementos en este esquema:

La esfera tiene una sola cara curva.
Cortes
Una esfera puede ser cortada por un plano que pasa por su centro. De esta forma se obtienen 2 semiesferas y el plano deja como borde un círculo máximo.

Si el plano corta a la esfera sin pasar por su centro se obtienen 2 casquetes esféricos.

CUERPOS GEOMETRICOS

Los cuerpos geométricos son figuras geométricas tridimensionales, es decir, tiene  tres dimensiones (largo, ancho y alto), y  ocupan un lugar en el espacio, por lo tanto tienen un volumen.

Elementos de un cuerpo geométrico
- Caras: son las superficies planas que limitan el cuerpo geométrico. Estas superficies planas son figu-ras geométricas.

Las caras basales son las que sirven para apoyar el cuerpo en el plano. Las otras  caras se  llaman laterales.



- Aristas: son las líneas que se forman cuando se juntan dos caras. Se puede decir también, que son los lados de las figuras geométricas que forman los lados del cuerpo. (figura 2)


- Vértices: son los puntos donde se juntan tres o más caras. (figura 3)

A continuación algunos cuerpos geométricos: